МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений

Уравнения метода Методы 1 Sin x/3 - cos 6x = 2 4(б) 1. Разложение на множители. 2. Введение новой переменной: а) сведение к квадратному; б) универсальная подстановка; в) введение вспомогательного аргумента. 3. Сведение к однородному уравнению. 4. Использование свойств функций, входящих в уравнение: а) обращение к условию равенства тригонометрических функций; б) использование свойства ограниченности функции sinx – 2 cosx = 1 3, 2(б,в) 5 sin3x cos2x = 1 4(б) 6 cos2x = (cos x – sin x ) 1,2(б,в), – sin2x = cos x – sin x 1,2(б,в)3 8 cos3x = sin x 4(а) 9 4 – cos 2 x = 4 sin x 2(а) 10 sin3x – sin5x = 0 4(б) 11 tg 3x tg(5x + /3) = 1 4(а) 12 2 tg x/2 - cos x = 2 1,2(а,б,в),3,4(а)

1. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете? 2. Определите и ответьте, какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения? а) sin 2x – cos x = 0 б) 2sin²x - 5sinx = -3 в) cos²x – sin²x = sinx – cosx г) sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

Некоторые типы тригонометрических уравнений. 1.Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно cos х = t, sin х = t. A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0 Решаются методом введения новой переменной. 2. Однородные уравнения первой и второй степени. I степени. A sinx + B cosx = 0 : cosx A tg x + B = 0 II степени. A sin 2 x + B sinx cosx + A cos 2 x = 0 : cos 2 x A tg 2 x + B tgx + C = 0 Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной. 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C. А, В, С 0 Применимы все методы.

4. Понижение степени. А cos2x + В = C. A cos2x + B = C. Решаются методом разложения на множители. A sin2x + B = C. Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).

Формулы. a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где sin = cos = - вспомогательный аргумент. Универсальная подстановка. х + 2 n; Проверка обязательна! Понижение степени. = (1 + cos2x ) : 2 = (1 – cos 2x) : 2 Метод вспомогательного аргумента.

Сведение к однородному. sinx cosx + 6 cos 2 x = 5.Пример. 5 sin 2 x + Разложение на множители. Пример. - 2 cosx = 4 sinx - sin2x A sin2x + B sin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C. Уравнения вида

1. Потеря корней: делим на g(х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Проблемы,возникающие при решении тригонометрических уравнений

Уравнение. Поделив уравнение на, получим,, При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на. Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если, то из уравнения следует, что. Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством. Следовательно, при делении уравнения, где,, на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

, x = y +. Решить уравнение cos²x + sinx cosx = 0 1) Делить на cosx нельзя, так как в условии не указано, что cosx не равен нулю. Но можно утверждать, что sinx не равен нулю, так как в противном случае cosx равен 0, что невозможно, так как sin²x- cos²x =1. Значит можно разделить на sin²x. 2) Решим уравнение разложением на множители: cos²x + sinx cosx = 0, сosx(cosx + sinx ) = 0, сosx = 0 или cosx + sinx = 0, tg x=-1,

Уравнения, линейные относительно sin x и cos x а sin x + в cos x = с. Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл; Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество. Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0. Примеры: 3 sin 5x - 4 cos 5x = 2 2 sin 3x + 5 cos 3x = 8. Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tgх ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими. Решение этих уравнений существует при

Данное уравнение является уравнением вида, (1) где,,, которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на :. (2) Введем вспомогательный аргумент, такой, что. Такое число существует, так как. Таким образом, уравнение можно записать в виде. Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

Уравнение. Используя формулы sin x = 2 sin cos, cos x = cos 2 - sin 2 и записывая правую часть уравнения в виде, получаем Поделив это уравнение на, получим равносильное уравнение Обозначая, получаем, откуда. 1) 2) Ответ:.0 2 cos 2 2 sin xxxx

4sin²x – 4sinx – 3 = 0 2cos²x – sinx – 1 = 0

4sin²x - 4 sinx – 3 = 0 ( -1) n+1 П/6 +Пn, n Z. 2 сos²x – sin x – 1 = 0 ±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n Z.

Решить уравнение Здесь Поделим обе части уравнения на 5: Введем вспомогательный аргумент, такой, что,. Исходное уравнение можно записать в виде, откуда Ответ:

1ctg x 1tg x cos x sin x = 60 ° =45 ° =30 °

-0-0-ctg x 0-0-0tg x 1001cos x 0010sin x =360 ° =270 ° =180 ° = 90 ° 0°0° А