«Перпендикулярность прямых и плоскостей» Учитель математики высшей категории ГБОУ «Адыгейской республиканской гимназии» Бузумурга Зинаида Николаевна

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ ДВУГРАННЫЙ УГОЛ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ План: 2

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости.) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. 3

Докажите, что плоскость, проходящая через ребро AB правильного тетраэдра ABCD и точку Е – середину ребра CD, перпендикулярна ребру CD. Упражнение 1 Доказательство: Прямая CD перпендикулярна прямым AE и BE. Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABE. 4

Докажите, что прямая AA 1, проходящая через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 перпендикулярна плоскости ABC. Доказательство. Прямая AA 1 перпендикулярна прямым AB и AD. Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABC. Упражнение 2 5

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения прямой a с плоскостью π обозначим A. Она называется ортогональной проекцией точки A на плоскость π. Отрезок AA называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость π. 6

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром. Соответствие, при котором точке A пространства сопоставляется ортогональная проекция A, называется ортогональным проектированием на плоскость π. 7

С А В a Дано: АС ; С АВ - наклонная ВС - проекция a a ВС Доказать: a АВ ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и к самой наклонной 8

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам Задача 1. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E Упражнение 3 9

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей.) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 10

б) AВB 1, CDD 1, AB 1 C 1. В кубе A…D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC; б) BCD 1. Ответ: а) ABB 1, BCC 1, CDD 1, ADD 1, ACC 1, BDD 1 ; Упражнение 4 11

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой-нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. 12

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Ответ: 90 o. Упражнение 5 13

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ: 45 o. Упражнение 6 14

М С А В М С А В О 6 см 8 см 12 см Упражнение 7 15

А В С D М Е Упражнение 8 16

М С А В Точка М равноудалена от всех вершин правильного треугольника ABC, сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до плоскости ABC равно 2 см. 1)Докажите, что(AMO) (BMC), где O – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость ABC. 2)Найдите угол между (BMC) и (ABC) 3)Найдите угол между прямой MC и плоскостью ABC. Упражнение 9 17

М С А В О G Упражнение 10 18

А В С F А В С F А В С F 19