Выполнила Котомина О.В. учитель математики высшей категории Санкт-Петербург

Цилиндр Материал предназначен для учащихся 11 класса - определение силиндра, - развёртка силиндра, - формулы для вычисления площади основания, площади боковой поверхности, площади полной поверхности силиндра, - решение задач, - задания для самопроверки

Этапы урока Теория Практическая работа по группам Сечение силиндра «Пошаговое» решение задачи Самостоятельная работа Слабо? Докажи!

Нас окружает множество предметов Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской. Разных людей интересуют разные качества этих предметов. Математиков интересуют форма предметов и их размеры. Поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела: куб, призма, пирамида, силиндр, конус, шар и т.д. Названия многих геометрических тел идут из глубокой древности, причем произошли они от соответствующих предметов. Например, из Древней Греции пришёл термин «силиндр» (килиндрос - валик).

Что получим, если в основании прямой призмы возьмем круг? Нас окружает множество предметов силиндр

Цилиндр – это тело, ограниченное силиндрической поверхностью и двумя кругами с границами (LиL 1 ) Что такое силиндр? L L1L1

Как называется отрезок, соединяющий точки окружностей оснований, перпендикулярный плоскостям оснований? Образующая силиндра Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте силиндра. Чему будет равна высота силиндра, если длина образующей силиндра 5 см? 5 см

Сделайте чертёж силиндра. Проведите 2 образующие. Выделите верхнее основание. Проведите ось вращения.

Прямым круговым силиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны. ОО 1 -ось вращения (ось силиндра) является высотой силиндра. H = ОО 1 Высотой силиндра называют также расстояние между плоскостями его оснований. Н = ОО 1 = АВ Основания силиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях. Радиусом силиндра называется радиус его основания. R = ОА O1O1 OA B

Так выглядит развертка силиндра. Разверткой боковой поверхности силиндра является прямоугольник со сторонами Н и С, где Н – высота силиндра, С- длина окружности основания. Формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности силиндра. S бок. = НС = 2 RН S осн. = R 2, S п.п.ц. =S бок. +2S осн. = = R (R+Н) Н С= r

Решим задачу Диагональ развёртки боковой поверхности силиндра составляет угол 30 о с основанием развертки, длина этой диагонали равна 4 см. Найти площадь полной поверхности силиндра см

1 шаг.Разверткой боковой поверхности является прямоугольник АА 1 В 1 В. Из прямоугольного треугольника АА 1 В находим АА 1 = А 1 В*sin30 о = 4 *1/2 =2 см = Н, АВ =А 1 В*сos30 о = 4 * = 2 см = С = R B1B1 BA A1A1

2 шаг. из последнего R = см следует, что 3 шаг. Далее имеем S п.п. = R(R + H) = Ответ: 2

Практическая работа Оборудование. Раздаточный материал для 1 и 3 группы прямоугольник (со сторонами 16 х 20 см), 2 группа квадрат( со стороной 15 см ), 4 группа прямоугольник (со сторонами 12 х 16 см)

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг меньшей его стороны. Вычислить площадь полной поверхности, получившегося силиндра. Дано: силиндр, АВСD- прямоугольник, Н=АВ=16 см, R=АD=20 см Найти: Sп.п. Решение: Sп.п. = 2 R(R + Н)= = 2 20(20+16)= = 40 *36=1440 см 2 Ответ: 1440 см 2 Д С А В Задание для 1 группы

Задание для 2 группы Цилиндр получается вращением квадрата вокруг его стороны. Вычислите площадь полной поверхности, получившегося силиндра. Дано: силиндр, АВСD-прямоугольник R=АВ= 16 см, Н=АD= 20 см Найти: S п.п. Решение: S п.п. = R(R+Н) = 2 *16(20+16) = = 32 *36 = 1152 см 2 Ответ: 1152 см 2 Д С В А

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг большей его стороны. Вычислите площадь полной поверхности, получившегося силиндра. Дано: силиндр, АВСD- прямоугольник R=АВ= 16 см, Н=АD= 20 см Найти: S п.п. Решение: S пп= R (R+Н) = 2 *16(20+16) = = 32 *36 = 1152 см 2 Ответ: 1152 см 2 Д В А С Задание для 3 группы

Дано: силиндры 1 и 2 прямоугольник 12 х 16 см Найти: R 1, R 2 Решение: С = R C 1 = R =12, R 1 = С/2 =12/2 =6 C 2 = R =16, R 2 =С/2 =16/2 =8 Ответ: R 1 =6 см, R 2 =8 см Трубка, силиндрической формы получается из прямоугольника. Вычислите радиус основания 1 2 Задание для 4 группы

Сечения Осевым сечением силиндра называется сечение силиндра плоскостью, проходящей через ось вращения. ВСЕ осевые сечения силиндра – равные прямоугольники. Сечения бывают параллельны Сечения бывают параллельны - плоскостям оснований (а) - оси вращения силиндра (б) - оси вращения силиндра (б)

Знай, что -если плоскость сечения параллельна основаниям силиндра, то это круг и он перпендикулярен его оси вращения. - если плоскость параллельна оси вращения и проходит на расстоянии от оси, меньшем радиуса силиндра, то это будет прямоугольник и он перпендикулярен основаниям.

Сечение не параллельно основанию

1 задание а) S бок. = 4 П см 2, S сил. = 6 П см 2 Сверь ответ 1 вариант б) у = S сил. = 42 2 задание S сил. = 270 м 2

Сверь ответ 2 вариант 1 задание а) S бок. = 4 П см 2, S сил. = 12 П см 2 б) у = S бок. = 8 П 2 задание h = 5 см, r = 10 см

Слабо? Один силиндр получен вращением в пространстве прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а другой силиндр – вращением того же прямоугольника вокруг прямой ВС. Доказать, что площади боковых поверхностей этих силиндров равны. Площади боковых поверхностей этих силиндров равны S бок., = 2 R*H В первом случае R= AD, H = AB S = 2 *AD*AB Во втором случае R = AB, H = AD А D D В В С А С

Подведем итог. - Составьте 5 основных вопросов по теме «Цилиндр». - Какое тело получится при вращении квадрата вокруг его диагонали? - Это тема следующих уроков.