11 класс МАОУ СОШ 2 Г. Усть – Лабинск Краснодарский край Учитель высшей квалификационной категории Ряшина Н.И.

Цель урока: повторение основных приёмов преобразования и методов решения логарифмических уравнений; акцентирование внимания учащихся на возможных ошибках в решении логарифмических уравнений, так как эта тема присутствует на ЕГЭ.

1.Разминка. Тестирование. Выполните задание, выберите один из предложенных вариантов ответа.

А) Найти область определения функции у =log 2 (3x+5), 1) (5/3;+), 2)(-;-5/3),(-5/3;+). Б) Найти Х: х =lg0,001, 1)3. 2) -3. 3) нет решения. В) Сравнить: lg2+lg3 и lg5, 1) >. 2). 2). 2). 2)

Найди ошибку в доказательстве: (1/2) 2 > (1/2) 3. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, lg (1/2) 2 >lg(1/2) 3,отсюда 2lg (1/2) > 3lg(1/2).Сократим на lg(1/2), ПОЛУЧИМ: 2 3.

2. Исторические сведения о логарифмах.. Слово логарифм происходит от греческого слова и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594 г) логарифмов ДЖ. Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое- геометрической. Логарифмы с основанием e ввёл Спейдел (1619 г), составивший первые таблицы для функции Ιпx/ В течение 16 века резко возрос объём работы, связанной с проведением приближённых вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей практическое применение. Наибольшие проблемы возникли при выполнении операций умножения и деления. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Уже в 1623 г были созданы таблицы логарифмов и изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений(вплоть до появления электронной вычислительной техники). Эти изобретения резко повысили производительность труда вычислителей.

2. Труды этого математика были почти единственным руководством по одному из разделов математики в школе. Он самоотверженно любил науку и никогда не допускал неискренности. Однажды царь обратился к нему с вопросом, нет ли более короткого пути для познания этой математической науки, чем изучение его трудов. На это он гордо ответил…. Кто этот математик и что он ответил царю, нам и предстоит сейчас разгадать.

Работаем по карточкам. Каждый ученик выбирает для себя 2 уравнения и решает их. Решив их, находят букву, соответствующую его корням. Расположив буквы на доске в порядке номеров уравнений, вы узнаете, что сказал царю этот великий человек. Решите уравнения, по корням уравнения найдите соответствующую букву.

log 3 x = log 3 6+log ) log 5 x = log 5 1,5+ log 5 8. Lg x =2lg3 – lg125. 4) log 2 x = 2 log 2 5- log 2 0,5. 5) log 1/2 (2x- 4) = -3. 6)lg (3x- 8) = lg (x- 2). 7) log 0,1 (6x- 11)= log 0,1 (x-2). 8) log 0,5 x=2log 0,5 10-log 0,5 2. 9) log 2 (3-x)=0. 10) log 3 (5+2x)=1. 11)lgx=lg1,5+2lg2. 12)lg 2 x+2lgx=8. 13)log 4 (2x-5)=log 4 (x+1). 14)log 6 (3x- 76)=log 6 (x+24). 15)lg(x 2 -2x-4)=lg11. 16)log 7 x= 2log 7 3+ log 7 0,2. 17) 5 -1+log )log 2 5 x- log 5 x=2. 19) lg (3x+8)= lg(x+6). 20)log 2 (4x-5)=log 2 (x- 14). 21)(1/2) 1+log 0, )3 2+log )log 5 (2x+3)=log 5 (x+1). 24) 0,2 1+log 0,2 5, 25) lg(5x+7)=lg(3x-5). 26) log 2 (x-14)=4. 27) log x (x 2 -2x+2)=1. 28) 3 1+log ) log x (x 2 -12x+12)=1. 30) log 7 (46-3x)=2. 31) log 8 (x 2 +2x+3)=log ) log 3 (5x-6)=log 3 (3x-2). 33) log a x=2log a 3+log a 5

Таблица соответствия ответов и букв А1,8И2ОНет корней Б12КР1 В30Л-3;1С0,2;25 Г45М3Т50 Д6Н10 -4; 10 2 Ц-3;5

В математике нет царской дороги. Евклид. Ответы: 1)12, 2)3. 3)1,8. 4)50. 5)6. 7)1,8. 8)50. 9)2. 10) )6. 12) 10 -4, ) 6. 14) ) -3; 5. 16) 1,8. 17)1. 18) 0,2; )-1. 20) нет корней. 21) 2. 22) ) нет корней. 24) 1. 25) Нет корней 26) ) 2. 28) 6. 29) )-1. 31)-3;1. 32)2. 33) 45.

3. Найди ошибки: 1)Вам предлагаются уравнения с решениями, содержащими ошибки. Необходимо найти эти ошибки, объяснить их и выполнить решение предложенных уравнений правильно ( допускается решение уравнения иным способом).

Найди ошибку А) Решить уравнение: log 2 0,5 x +5log 2 x=6. Решение: log x+ 5log 2 x = 6, Log x + 5log 2 x- 6=0, -log 2 2 x +5log 2 x -6=0, log 2 2 x - 5log 2 x+6=0, Пусть log 2 x=t, отсюда t 2 -5t+6=0, D=25-24=1, t=2 или t=3. Log 2 x=2 или log 2 x=3, x=4 x=8. Ответ: 4; 8.

Найди ошибки: Б)log 3 (x 2 +8x+16)=2. Решение: log 3 (x+4) 2 =2, 2log 3 (x+4) =2, log 3 (x+4)=1, x+4=3, x=-1. Ответ:-1.

Найди ошибки: В)log 3( 2x+1)/x=log 3 (x+1)+log 1/3 x. Решение: log 3 (2x+1)/x=log 3 (x+1) –log 3 x, Log 3 (2x+1)-log 3 x=log 3 (x+1)- log 3 x, log 3 (2x+1)=log 3 (x+1), 2x+1=x+1, x=0, где 2 х+10, и х+10, отсюда х -0,5. Ответ: 0.

Найди ошибку: Г)log x 3 (x 2 -2)=1/3, 1/3log /x/ (x 2 - 2)=1/3, log /x/ (x 2 -2)=1, x 2 -2=/x/, X 2 -/x/-2=0, /x/ 2 -/x/-2=0, отсюда /x/=2, или/x/=-1 –посторонний корень, /x/=2, x=±2. Ответ: ±2.

Найди ошибки: Д)log 5 (3x+2)+log 5 (x+2)=log 5 (2x+4), Решение: (3x+2)+(x+2)=(2x+4), где 3x+2>0, x+2>0, 2x+4>0. 3x+2+x+2=2x+4, x>-, X=0. Ответ: 0.

Объяснение ошибок. А) Неверно преобразовано выражение log 2 0,5 x. log 2 0,5 x=(log 0,5 x) 2= (-log 2 x) 2 =log 2 2 x, отсюда log 2 2 x+5log 2 x-6=0, x>0, log 2 x=-6 или log 2 x=1, X=2 -6, x=2, X=1/64. Ответ:1/64, 2.

Б) При преобразовании выражения log 3 (x+4) 2 пропущен знак модуля. Решение: log 3 (x 2 +8x+16)=2, log 3 (x+4) 2 =2, 2log 3 /x+4/ =2, log 3 /x+4/=1, /x+4/=3, x+4=3 или х+4=-3, х=-1, или х=-7 Ответ:-1, -7.

в) Не выполнена проверка, не указана ОДЗ. Решение: log 3 ((2x+1)/x= log 3 (x+1)+ log x, log 3 (2x+1)/x=log 3 (x+1)- log 3 x, log 3 (2x+1)/x=log 3 (x+1)/x, (2x+1)/x=(x+1)/x, где х>0, 2x+1=x+1, x=0. Ответ: нет корней.

Г) При преобразовании основания логарифма был поставлен знак модуля (хотя показатель степени нечётный). Решение: log x 3 (x 2 -2)= log x (x 2 -2)=, log x (x 2 -2)=1, X 2 - 2=x,где x>0, x1, x 2 -x-2=0, x 1 =-1, x 2 =2, Ответ: 2.

Д) В применении свойства логарифма произведения. Решение: log 5 (3x+2)+log 5 (x+2)=log 5 (2x+4), Log 5 (3x 2 +8x+4)=log 5 (2x+4), где 3 х+2>0, x+2>0. 3x 2 +8x+4=2x+4, x>-2/3, 3x 2 +6x=0, x=0 или х=-2 Ответ: 0.

Станция « Рефлексия». 1. Больше всего мне понравилось…. 2. Я научился ( научилась)… 3. Наибольшие затруднения у меня вызвало…. 4. На уроке я узнал (а)… 5. Меня удивило…

Домашнее задание: Решить уравнения 1) log 2 2 x +log 0,5 x =3. 2) log 2 x 2 +log(2-x)=log 2 (4-4x). 3) log 2 (x 2 +10x+25)=2. 4) log Х 2 3=0,5. 5) log 3 (x+1)+log 3 (x-2) = log 3 (x+6)