Геометрические построения циркулем и линейкой Конспект лекции: Основные построения Дисциплина:

Выполнил: Цун Иосиф Менделевич, профессор кафедры алгебры и геометрии МаГУ, кандидат технических наук

Основное построение 1 Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку a. a SAF Построение: Циркулем измеряем отрезок a. Дано: С центром в точке S проводим дугу радиуса SA = a. SA – искомый отрезок. а

Основное построение 2 Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу. Построение: Дано: С центром в точке О проводим дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках М и N. A BN M FN M O S С центром в точке S тем же радиусом проводим дугу в заданной полуплоскости. Пусть она пересекает SF в точке N. Циркулем измеряем MN и откладываем от N на построенной ранее дуге с центром в точке S. Получаем M. Проводим луч SM. Угол MSN – искомый.

Основное построение 3 Построить треугольник по трём сторонам. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = c. Построение: Дано: a b c AB C c b a С центром в точке А строим дугу радиусом b. С центром в точке В – дугу радиусом а. Пересечение дуг дает точку С – вершину искомого треугольника. Проводим отрезки b = AC и a = BC. Треугольник ABC – искомый.

Основное построение 4 Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = a. Построение: Дано: a b AB C b a Используя основное построение 2, строим угол с вершиной в А. На второй построенной стороне этого угла откладываем отрезок АC = b и получаем третью вершину искомого треугольника ABC.

Основное построение 5 Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. На произвольной прямой откладываем отрезок AB = a. Дано: a AB C a Построение: Используя основное построение 2, строим угол при точке A. Затем строим угол при точке В. Построенные лучи пересекутся в вершине в точке С искомого треугольника АВС.

Основное построение 6 Построить биссектрису данного неразвернутого угла (разделить данный угол пополам). Построение: С центром в вершине О данного угла произвольным радиусом проводим дугу, пересекающую стороны угла в точках А и В. B A E Дано: Не изменяя радиуса, строим еще две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекаются в точке Е. О ОЕ – искомая биссектриса

Основное построение 7 Построить серединный перпендикуляр данного отрезка (аналогично выполняется построение середины данного отрезка). С центрами в точках А и В и радиусом, большим половины отрезка АВ, строим две дуги, пересекающиеся в точках С и D. Построение: AB C D O Дано: AB CD – искомый серединный перпендикуляр. О – середина данного отрезка АВ.

Основное построение 8 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Случай 1. Данная точка P лежит вне прямой. С центром в точке Р радиусом, большим расстояния от Р до прямой АВ, проводим дугу, пересекающую прямую в точках М и N. AB MN P Q Построение: P Дано: Тем же радиусом PM = PN с центрами в точках М и N строим еще две дуги, пересекающиеся в точке Q. PQ – искомый перпендикуляр к прямой АВ.

Основное построение 8 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Случай 2. Данная точка P лежит на прямой. С центром в точке Р произвольным радиусом проводим дугу, пересекающую прямую в точках М и N. NM C D P A B Построение: Дано: С центрами в точках М и N строим ещё две дуги равного радиуса и большего, чем расстояние до точки P. Через точки C и D пересечения этих дуг проводим прямую. CD – искомый перпендикуляр к прямой АВ в точке Р. P

Основное построение 9 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и параллельную данной прямой АВ. Способ 1 Построение: С центром в точке Р и радиусом, большим расстояния от Р до прямой АВ, проводим дугу, пересекающую АВ точках М и N. P MN Q P АВ Дано: Из M тем же радиусом описываем вторую дугу, проходящую через Р. Она пересечет вторую дугу в точке Q. PQ – искомая прямая, параллельная AB. AB С центром в Р строим третью дугу радиусом МN.

Основное построение 9 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и параллельную данной прямой АВ. Способ 2 С центром в точке Р и радиусом, большим расстояния от Р до прямой АВ, проводим дугу, пересекающую АВ точке М. Построение: P M N Q P АВ Дано: А В С центром в точке М тем же радиусом проводим дугу, пересекающую прямую АВ в точке N. С центром в N с тем же радиусом проводим дугу, пересекающую первую дугу в точке Q. PQ – искомая прямая, параллельная AB.

Основное построение 10 Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. На произвольной прямой от произвольно взятой на ней точки А откладываем отрезок AB = a. Дано: a Построение: AB C a Далее строим угол, равный данному углу, с вершиной в А. На другую сторону угла опускаем перпендикуляр из второго конца гипотенузы – точки В. Получаем вершину С прямого угла искомого треугольника АВС.

Основное построение 11 Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. На произвольной прямой от произвольной точки А откладываем отрезок АС = b. Дано: a b Построение: A b C B a В точке А восстанавливаем перпендикуляр к АС по основному построению 8. С центром в точке С проводим дугу радиусом а, пересекающую построенный перпендикуляр в точке В. Построенный треугольник АВС – искомый.

Основное построение 12 Для окружности построить касательную, проходящую через данную точку Р. Случай 1. Точка Р лежит на окружности. Проводим луч СР, где С – центр окружности. С P A B Построение: P Дано: В точке Р восстанавливаем перпендикуляр АВ к лучу СР по основному построению 8. Прямая АВ – искомая касательная.

Основное построение 12 Для окружности построить касательную, проходящую через данную точку Р. Случай 2. Точка Р лежит вне данной окружности. С P Строим отрезок СР, С – центр окружности. Построение: M N E Делим СР пополам по основному построению 7, получаем Е. Проводим искомые касательные к окружности прямые PM и PN. Дано: P С центром в Е и с радиусом ЕС = ЕР строим дугу, пересекающую окружность в М и N.

Основное построение 13 Построение четвертого пропорционального отрезка x. Строим произвольный угол, на сторонах которого от вершины О откладываем заданные отрезки длиной OA = а и OB = b, входящие в левую часть пропорции. Проводим прямую АB. O B AC X Дано: a b c Построение: ca b x На той же стороне угла, что и a, откладываем AС = с. Через точку C проводим прямую, параллельную АB, которая пересекает на луче ОB искомый отрезок х. Отрезок BХ = х – искомый.

Благодарю за внимание