ГОУ Гимназия 498 Невского района. Презентация по теме «Тригонометрические функции» (алгебра, 10 класс ) Учитель О.В.Плуталова Санкт-Петербург 2011 год

Содержание 1. Основные свойства функции.Основные свойства функции. 2. Функция y = sin x Свойства и график. Свойства и график График функции y = sin (x ± b).График функции y = sin (x ± b) График функции y = sin x ± b.График функции y = sin x ± b. 3. Функция y = cos x Свойства и график. Свойства и график График функции y = cos (x ± b).График функции y = cos (x ± b) График функции y = cos x ± b.График функции y = cos x ± b. 4. Функция y = tg x: свойства и график свойства и график 5. Функция y = ctg x: свойства и график. свойства и график.

Основные свойства функции. 1. Область определения. 2. Область значений. 3. Периодичность. 4. Четность, нечетность. 5. Нули. 6. Промежутки монотонности. 7. Промежутки знакопостоянства. 8. Наибольшее и наименьшее значения.

График функции Свойства функции : 1.D(у) = R. 2. E(у) = [- 1 ; 1] 3.Функция периодическая; Т = 2πФункция периодическая; Т = 2π 4. Функция нечетная Функция нечетная 5. sin x = 0 при х = πn, n Z. 6.Функция возрастает наФункция возрастает [- π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn], n Z, убывает на [ π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n Z. 7. sin x > 0sin x > 0 при 2πn < x < π+ 2πn, n Z; sin x < 0 при π + 2πn < x < 2π+ 2πn, n Z. 8. Наибольшее значение функции у = 1; наименьшее значение функции у = -1.

y x 1 π/2-π/2π3π/22π2π-π-π-3π/2 -2π 0 y = sin (x +π/2) y = cos x y = sin x График функции y = sin (x ±b) y = sin (x -π/2)

y x 1 π/2-π/2π3π/22π2π-π-π-3π/2 -2π 0 y = sin x +1 y = sin x График функции y = sin x ±b y = sin x -1

График функции Свойства функции: 1.D(у) = R. 2. E(у) = [- 1 ; 1] 3.Функция периодическая; Т = 2πФункция периодическая 4. Функция четная. Функция четная. 5. cos x = 0 при х = π / 2 + πn, n Z, n Z. 6. Функция возрастает на. Функция возрастает на [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n Z, убывает на [ 2πn; π+ 2πn], n Z. 7. cos x > 0cos x > 0 при - π / 2 + 2πn < x < π / 2 + 2πn, n Z; cos x < 0 при π / 2 + 2πn < x < 3π / 2 + 2πn, n Z 8. Наибольшее значение функции у = 1; наименьшее значение функции у = -1.

y x 1 π/2-π/2π3π/22π2π-π-π-3π/2 -2π 0 y = cos (x -π/2) ( y = sin x ) y = cos x График функции y = cos(x ± b) y = cos (x +π/2)

y x 1 π/2-π/2π3π/22π2π-π-π-3π/2 -2π 0 y = cos x + 1 y = cos x График функции y = cos x ±b y = cos x - 1

График функции Свойства функции: 1.D(y) = (- π / 2 + πn; π / 2 + πn) ; n Z. 2.E(у) = R. 3. Функция периодическая; T = π. Функция периодическая; T = π. 4. Функция нечетная.Функция нечетная. 5. tg x = 0 при х = πn, n Z. 6.Функция возрастает на (- π / 2 + πn; π / 2 + πn), n Z 7. tg x > 0 tg x > 0 при πn < x < π / 2 + πn, n Z; tg x < 0 при - π / 2 + πn < x < πn, n Z. 8.Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений. 9.Прямые π / 2 + πn, n Z, являются асимптотами графика функции.

График функции Свойства функции: 1.D(у) = ( πn; π+ πn ), n Z. 2. E(у) = R 3.Функция периодическая; Т = π. 4. Функция нечетная. 5.ctg x = 0 при х = π / 2 + πn, n Z. 6.Функция убывает на (πn; π+ πn), n Z. 7. ctg x > 0 при πn < x < π / 2 + πn, n Z; ctg x < 0 при π / 2 + πn < x < π + πn, n Z. 8.Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений. 9.Прямые πn, n Z, являются асимптотами графика функции.

Автор Плуталова Ольга Вячеславовна, учитель математики гимназии 498.

Исследование тригонометрических функций на четность y = sin x. Функция нечетная. 1) (-x) D(y). 2) y(-x) = sin (-x) = - sin x = - y(x). y = cos x. Функция четная. 1) (-x) D(y). 2) y(-x) = cos (-x) = cos x = y(x). y= tg x. Функция нечетная. 1) (-x) D(y). 2) y(-x) = tg (-x) = - tg x = - y(x). y= ctg x. Функция нечетная. 1) (-x) D(y). 2) y(-x) = ctg (-x) = - ctg x = - y(x).

Периодичность тригонометрических функций. y = sin x. Период Т = 2 π. (y = cos x. Т = 2 π) Доказательство. 1) (x ± 2 π) D(y). 2) y(x + 2 π) = sin (x + 2 π) = sin x = y (x). 3) y(x - 2 π) = sin (x - 2 π) = sin x = y (x). 4) y(x ± 2 π) = y (x). Следовательно, Т = 2π. (Для функции y = cos x доказательство аналогично)

Периодичность тригонометрических функций. y = tg x. Период Т = π. (y = сtg x. Т = π). Доказательство. 1) (x ± π) D(y). 2) y(x + π) = tg (x + π) = tg x = y (x) 3) y(x - π) = tg(x - π) = tg x = y (x). 4) y(x ± π) = y (x). Следовательно, Т = π. (Для функции y = ctg x доказательство аналогично)

Монотонность тригонометрических функций. y = cos. Функция возрастает на [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n Z, убывает на [ 2πn; π+ 2πn], n Z. Доказательство. 1) При повороте точки (1; 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до π π (1; 0) 0 абсцисса точки, т.е cos x, -1 1 уменьшается от 1 до -1. Поэтому если 0 Х1 cos Х2. Это означает, что функция y = cos x убывает на [ 0; π]. 2) Функция y = cos x возрастает на [ -π; 0], т.к. она убывает на [0; π] и является четной. 3) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2π, то она возрастает на [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n Z, убывает на [ 2πn; π+ 2πn], n Z.

Монотонность тригонометрических функций. y = sin x. Функция возрастает на [- π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn], n Z, убывает на [ π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n Z. Доказательство. 1) При повороте 1 π / 2 точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от - π / 2 до π / 2 ордината точки, т.е sin x, увеличивается от -1 до 1. Поэтому если - π / 2 Х1 < Х2 π / 2, то sin Х1< sin Х π / 2 Это означает, что функция y = sin x возрастает на [- π / 2 ; π / 2 ]. 2) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2π, то она возрастает на [- π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn], n Z. Убывание функции на [ π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n Z, доказывается аналогично.

Определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций. y = tg x tg x > 0 при πn < x < π / 2 + πn, n Z; + tg x < 0 при - π / 2 + πn < x < πn, n Z. + y = ctg x ctg x > 0 при πn < x < π / 2 + πn, n Z; ctg x < 0 при π / 2 + πn < x < π + πn, n Z.

Определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций. y = sin x. + + sin x > 0 при 2πn < x < π+ 2πn, n Z; sin x < 0 при π + 2πn < x < 2π+ 2πn, n Z. _ _ y = cos x. cos x > 0 при - π / 2 + 2πn < x < π / 2 + 2πn, n Z; _ + cos x < 0 при π / 2 + 2πn < x < 3π / 2 + 2πn, n Z. +