Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Урок 1 Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений Цели: ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Уравнение и его свойства Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных ax=b Линейное уравнение с одной переменной Л ин ейное уравнение с двумя переменными ax+by=c а x + b y = c, где а, b, c – заданные числа. Коэффициенты Свободный член

Уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами, имеет бесчисленное множество решений и является неопределенным. Решением таких уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений. Диофант из Александрии ( 3 век )

Свойства уравнений если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному 12 х – 5 у = 12 х – 7 = 5 у если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному 9 х + 15 у = 3 Ι :( - 3 ) -3 х - 5 у = - 1 7

Задание Из линейного уравнения с двумя неизвестными 2 х – 8 у = - 10 выразите переменную х: 1.2. Из линейного уравнения с двумя неизвестными 3 х – 2 у = 5 выразите переменную у: 3 х – 5 = 2 у Ι : 2 2 х = 8 у – 10 Ι : 2, Х = 4 у х = у

Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел ( х ; у ), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.

Задание 2 Найдите все пары ( х ; у ) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения х + 4 у =55 Ответ: ( 3 ; 4) х + 7 у =59 Ответ: (2 ; 7) (9 ; 2)

Система уравнений и её решение Определение Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называются два уравнения, объединенные фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что эти уравнения должны быть решены одновременно. а 1 х + b 1 y = c 1, а 2 х + b 2 y = c 2 ; В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так : где а 1, b 1, c 1, а 2, b 2, c 2 - Заданные числа, а х и у - неизвестные

Задачи на составление и решение систем уравнений встречаются в вавилонских и египетских текстах II тысячелетия до н. э., в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм ( 1646 – 1716 )

Например, в системе а 1 = 1, b 1 = -1, с 1 = 2; а 2 = 3, b 2 = -2, с 2 = 9. Задание 3. (Устно.) Проверьте, являются ли числа х = 4, у = 3 решениями системы Решение: х – у = 2, 3 х – 2 у = 9. 2,5 ·4 – 3 · 3 =1, 5·4 – 6 · 3 = 2. 2,5 х – 3 у = 1, 5 х – 6 у = 2. Ответ: числа х = 4, у = 3 являются решениями системы

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Задание 4. Если в системе уравнений 6 х – 21 у = 9, 6 х + 2 у = 4. 2 х – 7 у = 3, 3 х + у = 2. уравнять модули коэффициентов при х, то система примет вид 2 х – 7 у = 3 Ι· 3, 3 х + у = 2 Ι · 2. 2 · 3 х – 7 · 3 у = 3 · 3, 3 · 2 х + 2 у = 2 · 2; 6 х – 21 у = 9, 6 х + 2 у = 4. РЕШЕНИЕ

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § (1), 616(1), 617(1), 619(1). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 33, 3, 4(1), 5(1), 14(1). 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 33 ( стр. 90) 4(1), 7.