«…Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть, Набор передовых логарифмов?» (Э. Брил, «Ода экспоненте» ) Выполнила: студентка группы ТД-2 Альпидовская Александра Руководитель: Преподаватель математики Померанцева Л.Д.

Почему логарифмы нужны современному человеку? Достаточно ли тех знаний о логарифмах, которые мы получаем в техникуме?

Расширить представление о логарифмической функции, применение ее свойств в нестандартных ситуациях; Развить интерес к истории математики и ее практическим приложениям.

Джон Непер (1550 – 1617) Йобст Бюрги (1552 –1632) Кауфман Меркатор (1620– 1687) Леонард Эйлер (1707 –1783)

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Существует наука – музыкальная акустика, объединяющая физику, музыку и математику. Тон – важное понятие акустики, представляет собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, голоса. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Рене Декарт ( )

Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. В новом 12- ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке Восторжествовала темперация (от лат. соразмерность).

Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1/12, которые соответствуют полутонам. С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них: Октава Септима Секста Квинта Кварта Терция Секунда

Физик, профессор Эйхенвальд писал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего. Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь Пифагорова-то гамма и оказалась неприемлемой для нашей музыки. Представьте, как не приятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»

Обозначим все ноты хроматической гаммы номерами p. Тогда высоту, т.е. частоту, любого звука можно выразить формулой Логарифмируя эту формулу, получаем Принимая частоту самого низкого «до» за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». Г. Нейгауз, пианист

Спасибо за внимание!