Решение тригонометрических уравнений с отбором корней на заданном промежутке

Тригонометрические формулы Способы Способы отбора корней Формулы корней простейших тригонометрических уравнений уравнений Методы Методы решения тригонометрических уравнений тригонометрических Решение тригонометрических уравнений с отбором корней на заданном промежутке отбором корней

вперед Тригонометрические формулы arccos(-0,5) sin 6x sin( 0,5 π +x) cos²x-sin²x sin 150° cos (1,5 π -x) 2tg405° arcsin(-0,5) cos²x-1 с os(-4 π /3) Tg²(1,5 π +x) 3sin²4x+3cos²4x

Методы решений тригонометрических уравнений Основные методы : замена переменной, разложение на множители, однородные уравнения, прикладные методы : по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму, по формулам понижения степени, универсальная тригонометрическая подстановка введение вспомогательного угла, умножение на некоторую тригонометрическую функцию. функцию.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений Формулыкорней тригонометрических уравнений Sin x =a, X = (-1) n arcsin a +Пn n Z Cos x = a, X= arccos a + 2Пn n Z tg x = a, x = arctg a + Пn n Z Частныеслучаи решения уравнений sin x = 0 X = Пn, n Z cos x = 0 X = П/2 + Пn, n Z tg x = 0 X = Пn, n Z sin x = 1, X = П/2 + 2 Пn, n Z cos x = 1, X = 2Пn, n Z sin x = -1, X = -П/2 + 2Пn, n Z cos x = -1, X = П + 2 Пn, n ZZ

Способы отбора корней тригонометрических уравнений на заданном промежутке Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Алгебраический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений

Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней 1. Решить уравнение 2. Записать корни уравнения 3. Разделить виды решения для косинуса ; подсчитать значения x при целых n до тех пор, пока значения x не выйдут за пределы данного отрезка. 4. Записать ответ. x k -2012… x k -2012…

Алгебраический способ Решение неравенства относительно неизвестного параметра n и вычисление корней 1. Записать двойное неравенство для неизвестного ( x ), соответственное данному отрезку или условию ; решить уравнение. 2. Для синуса и косинуса разбить решения на два. 3. Подставить в неравенство вместо неизвестного ( x ) найденные решения и решить его относительно n. 4. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n. 5. Подставить полученные значения n в формулу корней.

Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений На окружности 1. Решить уравнение. 2. Обвести дугу, соответствующую данному отрезку на окружности. 3. Разделить виды решений для синуса и косинуса. 4. Нанести решения уравнения на окружность. 5. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу. y x 0 arccos a d -arccos a c а

Геометрический способ Изображение корней на графике с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений На графике 1. Решить уравнение. 2. Построить график данной функции, прямую у = а, на оси х отметить данный отрезок. 3. Найти точки пересечения графиков. 4. Выбрать решения, принадлежащие данному отрезку. принадлежащие x y y = sin x y = a arcsin a П -arcsin a сd a

Ответы

Пример 3. Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin 2 x = – cos 2x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n=0 или n=1, то есть Из второй серии: Следовательно n=0 или n=1, то есть

Самый лучший способ для достижения правильного и быстрого результата это тот, который лучше всего усвоен конкретным учеником.