« Проектирование пространственных фигур на плоскость» ( 10 класс)

Чертеж - хорошее средство для получения и запоминания информации поскольку ~ 80 % информации человек получает с помощью зрения. В современном техническом чертеже передается информация, необходимая для производства, поэтому чертеж является одним из основных производственных документов.

Пример Выберем в пространстве произвольную плоскость ABCD (её мы будем называть плоскостью проекций) и любую прямую a (она задаёт направление параллельного проектирования)

Проведём через точку F прямую, параллельную прямой а. Точка F пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки F на плоскость ABCD. Точку ещё называют прообразом, а точку F – образом. Если F принадлежит а, то F совпадает с F. F

Параллельное проектирование для объемных фигур. Если рассматривать любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой пространственной фигуры на плоскость. а

Изображение плоских фигур. Изображение плоских фигур. Фигура в пространстве Её изображение на плоскости Произвольный треугольник

Прямоугольный треугольник Произвольный треугольник Равнобедренный треугольник Произвольный треугольник

Фигура в пространстве Её изображение на плоскости Равносторонний треугольник Произвольный треугольник Параллелограмм Произвольный параллелограмм Прямоугольник Произвольный параллелограмм

Фигура в пространстве Её изображение на плоскости Квадрат Произвольный параллелограмм Трапеция Произвольная трапеция Произвольный параллелограмм Ромб

Фигура в пространстве Её изображение на плоскости Равнобокая трапеция Произвольная трапеция Прямоугольная трапеция Произвольная трапеция Круг ( окружность ) Овал ( эллипс )

Практическая часть. Построение изображений пирамиды.

Алгоритм изображения пирамиды. 1. Изображение пирамиды начинают всегда с изображения ее основания : Вершины основания пирамиды выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение ; Далее вершины соединяются тонкой вспомогательной линией ; 2. Построение высоты пирамиды : Исходя из свойств пирамиды и свойств многоугольника, лежащего в основании строится основание высоты ; Высота изображается вертикальным отрезком, параллельным краю листа бумаги. 3. Построение боковых ребер : Вершина пирамиды соединяется отрезками с вершинами основания. 4. Невидимые отрезки отмечаем штриховой линией. 5. Выделяем контур.

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Задача 1 Здесь и в дальнейшем строить изображение пирамиды будем согласно приведенному алгоритму. 1. Строим основание пирамиды. Равнобедренный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана, проведенная к основанию треугольника. На проекционном чертеже основание высоты занимает произвольное местоположение на проведенной медиане. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 2 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольный треугольник. 1. Строим основание пирамиды. Прямоугольный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольный треугольник, поэтому основание высоты – середина гипотенузы. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 3 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит правильный треугольник. 1. Строим основание пирамиды. Правильный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании правильный треугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его медиан. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 4 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольник. 1. Строим основание пирамиды. Прямоугольник изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 5 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит квадрат. 1. Строим основание пирамиды. Квадрат изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании квадрат, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 6 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренная трапеция. 1. Строим основание пирамиды. Трапеция изображается трапецией. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании равнобедренная трапеция, поэтому основание высоты занимает произвольное местоположение на отрезке соединяющем середины оснований. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Построение изображений призмы

Алгоритм изображения призмы. 1. Изображение призмы начинают всегда с изображения ее основания : Вершины основания призмы выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение ; Далее вершины соединяются тонкой вспомогательной линией ; 2. Построение высоты призмы : Исходя из свойств пирамиды и свойств многоугольника, лежащего в основании строится основание высоты ; Высота изображается вертикальным отрезком, параллельным краю листа бумаги. 3. Построение боковых ребер : Вершина пирамиды соединяется отрезками с вершинами основания. 4. Невидимые отрезки отмечаем штриховой линией. 5. Выделяем контур.

Построить изображение призмы в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Задача 1 Здесь и в дальнейшем строить изображение призмы будем согласно приведенному алгоритму. 1. Строим основание призмы Равнобедренный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту призмы. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана, проведенная к основанию треугольника. На проекционном чертеже основание высоты занимает произвольное местоположение на проведенной медиане. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 2 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольный треугольник. 1. Строим основание пирамиды. Прямоугольный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольный треугольник, поэтому основание высоты – середина гипотенузы. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 3 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит правильный треугольник. 1. Строим основание пирамиды. Правильный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании правильный треугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его медиан. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 4 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольник. 1. Строим основание пирамиды. Прямоугольник изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 5 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит квадрат. 1. Строим основание пирамиды. Квадрат изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании квадрат, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача 6 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренная трапеция. 1. Строим основание пирамиды. Трапеция изображается трапецией. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании равнобедренная трапеция, поэтому основание высоты занимает произвольное местоположение на отрезке соединяющем середины оснований. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.