Функциональный анализ Представление дисциплины

2 Общие сведения по дисциплине Название Функциональный анализ. Читается для специальностей – «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Важность изучения дисциплины Функциональный анализ – важная часть фундаментального математического образования, включающая математический анализ, теория функций, теория множеств, алгебра и геометрия. Сфера профессионального использования Задачи оптимального управления, численные методы, программирование.

3 Краткое описание дисциплины Курс посвящен рассмотрению метрических пространств, полноты и сходимости в этих пространствах, принципа сжимающих отображений, топологических пространств, понятия линейного пространства, скалярного произведения, нормы, интеграла Лебега и меры Лебега. В него входят основные понятия и методы функционального анализа.

4 Цели и задачи преподавания дисциплины Основной целью дисциплины является формирование у студентов знаний о функциональном анализе как составной части фундаментального математического образования, владения его основными понятиями и методами, а также формирование навыков использования идей функционального анализа в профессиональной деятельности.

5 Место дисциплины среди смежных дисциплин Данная дисциплина требует предварительного изучения курсов математического анализа, алгебры и геометрии. В то же время дисциплина является одной из базовых дисциплин для таких дисциплин, как дифференциальные уравнения, методы вычислений, теория управления.

6 Начальные знания Для успешного освоения курса требуется знание основ математического анализа, алгебры и геометрии.

7 Итоговые знания, умения и навыки В результате изучения дисциплины студенты должны иметь ПРЕДСТАВЛЕНИЯ: об основных понятиях, идеях и методах функционального анализа; о связи функционального анализа с другими разделами математики. В результате изучения дисциплины студенты должны получить ЗНАНИЯ: о метрических, топологических, линейных и нормированных пространствах; о теории меры и интеграла Лебега; о пространствах суммируемых функций. В результате изучения дисциплины студенты должны приобрести УМЕНИЯ И НАВЫКИ: умение работать с учебной литературой; доказывать основные теоремы курса; Решать задачи по курсу.

8 Содержание лекционного курса Тема 1. Метрические пространства. Сходимость в метрических пространствах. Тема 2. Полнота в метрических пространствах. Принцип сжимающих отображений. Тема 3. Топологические пространства. Компактность. Тема 4. Линейные нормированные пространства. Тема 5. Пространства со скалярным произведением. Тема 6. Интеграл Лебега. Измеримые множества. Тема 7. Пространства суммируемых функций.

9 Тема 1. Метрические пространства. Сходимость в метрических пространствах. Первая тема курса является вводной в дисциплину. В ней даются обобщения понятий предельного перехода, сходимости и расстояния. Дается представления о том, что такие обобщения характерны для функционального анализа.

10 Тема 2. Полнота в метрических пространствах. Принцип сжимающих отображений. Вторая тема курса посвящена рассмотрению одного из основных принципов функционального анализа - принципа сжимающих отображений и связанного с ним понятие полноты. Обсуждаются различные области применения этого принципа за пределами функционального анализа.

11 Тема 3. Топологические пространства. Компактность. В данной теме Вы познакомитесь с топологическим подходом к понятию пространства, основными идеями топологии как науки о непрерывности и их применением в изучаемой дисциплине.

12 Тема 4. Линейные нормированные пространства. В данной теме получают развитие идеи обобщения математического анализа, характерные для изучаемой дисциплины. Пространства понимаются как обобщение понятия числового множества; вводится понятие функционала – обобщения понятия функции. Также вводится и подробно обсуждается норма – одно из важнейших понятий функционального анализа.

13 Тема 5. Пространства со скалярным произведением. В данной теме рассматриваются вопросы, связанные с понятием расстояния между объектами различной природы. В этом контексте вводится понятие скалярного произведения, с помощью которого обобщается понятие расстояния, и которое является важной характеристикой изучаемых функциональных пространств.

14 Тема 6. Интеграл Лебега. Измеримые множества. В данной теме обобщающий характер функционального анализа применяется к фундаментальному математическому понятию – интегралу. Дается определение интеграла Лебега как обобщения уже известного студентам из курса математического анализа интеграла Римана. Обсуждаются свойства интеграла Лебега и методы его вычисления. Вводится понятие Лебеговой меры.

15 Тема 7. Пространства суммируемых функций. В данной теме вводятся и достаточно полно описываются два основных пространства суммируемых функций: L 1 и L 2.

16 Контрольные мероприятия Итоговый контроль Семестровый экзамен.

17 Глоссарий 1. База топологического пространства – Совокупность открытых подмножеств называется базой топологического пространства, если всякое открытое множество в может быть представлено как сумма некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из этого пространства. 2. Базис – Базисом в n-мерном пространстве называется любая система из n линейно независимых элементов. 3. Внутренняя точка – Точка называется внутренней точкой множества, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в.. 4. Выпуклое множество – определение термина Гильбертово пространство – определение термина Гомеоморфизм 7. Евклидово пространство 8. Замкнутая система 9. Замкнутое множество

18 Глоссарий 14. – определение термина – определение термина – определение термина – определение термина – определение термина

19 Глоссарий 27. – определение термина – определение термина – определение термина – определение термина – определение термина

20 Глоссарий 40. – определение термина – определение термина – определение термина – определение термина – определение термина

21 Список литературы Основная 1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, – 496 с. 2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, – 271 с. 3. Виленкин Н. Я., Балк М. Б., Петров В. А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. – М.: Просвещение, – 143 с. 4. Петров В. А., Виленкин Н. Я., Граев М. И. Элементы функционального анализа в задачах. – М.: Просвещение, – 127 с. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. – М., 1965.

22 Список литературы Дополнительная 1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, Проселкова Т. В. Общая топология. (Начальные понятия). Часть 1. Изд. БелГУ, Белгород. – с. 3. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях.– М.: Наука, Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы.– М.: Наука, Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М., Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.

23 Самостоятельная работа Ответы на вопросы для самопроверки и решение задач по темам дисциплины.