Лекция 7 Момент импульса 29/03/2014 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Момент импульса частицы и системы частиц относительно точки и оси. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса для частицы и системы частиц. Частица в центральном поле сил. Примеры решения задач. Скамья Жуковского.

Демонстрации Движение в поле центральных сил Скамья Жуковского Униполярный индуктор Выливаем воду из бутылки

Момент импульса L = r x p Момент импульса частицы относительно точки 0 (полюса): L = [rp] L = prsinθ = pd d = rsinθ – плечо импульса p относительно точки 0.

L = m[r,v] = [r,p]

Момент импульса системы частиц Момент импульса системы частиц относительно полюса равен сумме моментов импульсов этих частиц относительно того же полюса: L = ΣL i = Σ[r i p i ] Момент импульса L системы частиц складывается из её собственного момента импульса L в системе центра масс и момента [r c p], обусловленного движением системы частиц как целого: L = L + [r c p] (аналог теоремы Кёнига)

Доказательство L = L + [r c p] (аналог теоремы Кёнига) В СЦМ r i ' = r i – r c ; v i ' = v i – v c L' = m i [r i ',v i '] = m i [r i – r c,v i – v c ] = m i [r i,v i ] – m i [r i,v c ] – m i [r c,v i ] + m i [r c,v c ] = L – [r c,p] L = L' + [r c,p] - момент импульса системы складывается из её собственного момента импульса L' и момента импульса тела [r c,p] как целого.

Пример: момент импульса обруча L = L + rp c = mvr + mv 0 r = mr 2 ω + mv 0 r Если обруч катится без проскальзывания, то v = ωr = v 0 : L = 2mv 0 r = 2mr 2 ω

Момент силы M = r x F Момент силы F относительно точки 0 (полюса): M = [rF] L = prsinθ = pd d = rsinθ – плечо импульса p относительно точки 0. Момент силы не изменится, если точку приложения силы F перенести вдоль линии её действия.

Уравнение моментов для частицы и системы частиц. dL/dt = M – скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы: dL/dt = [dr/dt,p] + [r,dp/dt] = [r,dp/dt] = [r,F] = M Для системы частиц: dL/dt = M внешнее – производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна суммарному моменту всех внешнееих сил относительно того же начала. dL z /dt = M z – уравнение моментов относительно неподвижной оси 0Z. Если M z = 0, то L z = const

Закон сохранения момента импульса относительно точки (оси) Если момент импульса внешнееих сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент импульса относительно того же начала остаётся постоянным. Если момент импульса внешнееих сил относительно какой либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса относительно той же оси остаётся постоянным.

Движение частицы в центральном поле сил Центральная сила зависит только от расстояния r до силового центра и направлена вдоль r : F = F(r)r/r Центральная сила не создаёт момента, т.к. плечо центральной силы относительно центра поля равно нулю. В поле центральной силы для частицы L = const. 1. Траектория частицы – плоская кривая, перпендикулярная L и проходящая через силовой центр Секториальная скорость частицы dS/dt = L/2m = const: за равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади (закон площадей).

Связь импульса с секториальной скоростью dS = ½ [rdr] = ½ [rv]dt σ = dS/dt = ½ [rv] – секториальная скорость L =2mσ σ = L/2m Если сила, действующая на точку центральная, то 1. Траектория – плоская кривая, перпендикулярная L и проходит через силовой центр 2. За равные промежутки времени радиус –вектор заметает одинаковые площади σ = L/2m = const

Задача про конический маятник (M z = 0) 1. Обычный конический маятник – шарик движется в горизонтальной плоскости 2. Необычный конический маятник (см. рис) V 0 = ? M z = 0 L z = constsinθmv 0 = mv v 0 = (2g/cosθ) 1/2 Закон сохранения энергии: ½mv 0 2 = ½ mv 2 + mgcosθ v 0 = (2g/cosθ) 1/2

Примеры L = const 2mr 1 v 1 = 2mr 2 v 2 r 1 2 ω 1 = r 2 2 ω 2 ω ~ 1/r 2 шайба+стержень – система не замкнутая, но М внешнее = 0 L = const (относительно т. 0)

Скамья Жуковского.

Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции. При вращении частицы по окружности: L = mvr = mr 2 ω Для системы частиц L = Σm i r 2 ω = Iω I – момент инерции системы относительно оси равен сумме масс частиц на квадраты расстояний до оси вращения: I = Σm i r 2 При вращении системы момент её импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно оси на угловую скорость: L = Iω Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси: d(Iω)/dt = M. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси: d(Iω)/dt = M. Если момент внешнееих сил M относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс сохраняется: Iω = const

Пульсар – быстро вращающийся объект: T = c (плотность ядерного вещества) Плотность вещества ρ ~ г/см 3 – (плотность ядерного вещества) Плотность Солнца ρ 0 ~ 1,4 г/см 3 Период обращения Солнца T 0 = 25,5 суток. Если Солнце сожмётся до пульсара, то период его вращения будет: T T 0 (ρ 0 /ρ) 2/3 = 1, с = 1,3 мс. ν ~ 1000 об/с (!) Радиус такого пульсара r ~ 18 км

Скамья Жуковского. С помощью одних только внутренних движений можно повернуть лабораторию на любой угол (!) при неизменном расположении тел в лаборатории.

Униполярный индуктор

И всё-таки он вертится!

Как изменяется скорость и чему равна работа демонстратора на скамье Жуковского L = const ω 2 /ω 1 = I 1 /I 2 = (I 0 + 2mr 1 2 )/(I 0 + 2mr 2 2 ) = K 2 /K 1 A = K 2 – K 1 = L 2 /2I 2 – L 2 /2I 1 = L 2 /2 {1/(I 0 + 2mr 2 2 ) - 1/(I 0 + 2mr 1 2 )} I 0 – момент инерции скамьи+человека без гирь 2mr 2 – момент инерции двух гирь

Поступательное и вращательное движения. Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K = mv 2 /2 = p 2 /2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции L z = Iω z – момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K = Iω 2 /2 = L z 2 /2I dA = Mdφ

Условие равновесия твёрдого тела Тело будет оставаться в покое, если: 1. Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣF i = 0 2. Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю: M = ΣM i = 0

Задача на законы сохранения импульса, момента импульса и энергии замкнутой системы ( 6.7) Закон сохранения импульса: mv 0 = mv + 3mv c Закон сохранения момента импульса относительно O: 0 = 0 + L + p c = - 2mv + 3mv c,, v = ω Ответ: v 1 = -2v 0 /11; v 2 = v c = 4v 0 /11; v 3 = +10v 0 /11; v = - v 0 /11; ω = v/ = 6v 0 /11 Закон сохранения энергии: ½mv 0 2 = ½ mv 2 + ½ (3m)v c (½ mv 2 ) Ответ: v 1 = -2v 0 /11; v 2 = v c = 4v 0 /11; v 3 = +10v 0 /11; v = - v 0 /11; ω = v/ = 6v 0 /11