Теория оболочек Основные соотношения теории анизотропных оболочек Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява

Основные соотношения теории анизотропных оболочек Для построения геометрических соотношений примем кинематическую модель С.П.Тимошенко, тогда смещение произвольной точки оболочки определится в виде: (1) где u,v - тангенциальные перемещения точек координатной поверхности, w- нормальное перемещение точки координатной поверхности (прогиб), γ1 и γ2 - углы поворота нормали в плоскостях αz и βz соответственно.

Основные соотношения теории анизотропных оболочек Рис.1. Элемент оболочки Пусть Нα, Нβ - параметры Ламе, а R1,R2 - радиусы кривизныы координатной поверхности. Рассмотрим эквизистантную поверхность, удаленную на расстояние z от координатной. Определим параметры Ламе, и радиусы кривизныы R1,R2

Основные соотношения теории анизотропных оболочек (2) для параметров Ламе (3) (4)

Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява Кинематические соотношения имеют вид: (5) Запишем эти соотношения для некоторой эквидистантной величины поверхности z = const: (6) И учтём, что |z| h, где толщина оболочки h

Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява (8) И = 1, так как ось γ = z прямолинейная. Таким образом, (9) (10) (11) для сдвиговых деформаций (12) (13) (14)

Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява Подставим в соотношения (9) - (14) выражения кинематической модели С.П.Тимошенко (15) (16)

Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява (17) (18)

Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява аналогично получаем (19) Величины εα,εβ, εαβ, εαz, εβz характеризуют равномерную по толщине оболочки деформацию и называются тангенциальными деформациями. Величины к α, к β, к αβ характеризуют линейно изменяющуюся по толщине деформацию оболочки, связанную с изгибом и скручиванием оболочки, и называются компонентами изгибной деформации. Для построения геометрических соотношений использована модель С.П.Тимошенко; если использовать классическую теорию тонких оболочек Кирхгофа - Лява, следует положить εαz = εβz = 0 (20) тогда (21)

Геометрические соотношения теории оболочек: модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява при этом компоненты тангенциальной деформации оболочки εα,εβ, εαβ останутся без изменений, изгибные деформации примут вид: (22) (23) и т.д. для к β, к αβ.