Теория пластин Теория гибких пластин Основные гипотезы Геометрические соотношения Определение обобщенных внутренних усилий.

Основные гипотезы Пластинки, прогиб которых превышает 1/4 толщины, называют гибкими (рис.1). Перед рассмотрением построения теории гибких пластин, проанализируем выполняемость основных гипотез теории пластин: гипотеза о прямых не деформируемых нормалях (+), гипотеза о недеформируемой срединной поверхности ((-), так как U 0 0,V o 0), гипотеза о не надавливании слоев друг на друга ((+), так как σ z =0). Рис.1 Тонкая гибкая пластина

Геометрические соотношения Следуя 1-й гипотезе ( ε z =0) и используя соотношения Коши получим, что функция прогиба пластины w = w(x,y) не зависит от координаты z. Также следуя 1-й гипотезе о сдвигах ( y xz = y yz =0), запишем (1) откуда находим производные перемещений (2)

Геометрические соотношения интегрируя уравнения по z, получим (3) и для определения функций f1 и f2 используем условие на срединной поверхности 2-й гипотезы: (4) Следовательно, f1 = U 0, а f2 = V 0 и окончательно получим (5)

Геометрические соотношения Найдём компоненты тензора деформации произвольной точки пластины (6) где ε x°, ε y° и γ xy° - компоненты тензора деформации срединной поверхности (тензор мембранной деформации). Для установления связи между тензором мембранных деформаций и вектором перемещений нельзя использовать тензор малых деформаций - тензор Коши и соответствующие геометрические соотношения. Необходимо использовать нелинейные геометрические соотношения - тензор деформаций Грина : (7)

Геометрические соотношения

Определение обобщенных внутренних усилий Для определения компонент тензора напряжений воспользуемся обобщенным законом Гука: (10) и, подставляя компоненты тензора деформаций, получим: (11)

Определение обобщенных внутренних усилий По аналогии с тензором мембранных деформаций ε ij °, удобно ввести тензор мембранных напряжений σ ij °, тогда соотношения примут вид (12) Исследуем внутренние усилия, возникающие в гибкой пластине. Рассмотрим элемент dxdy (рис.2.). Усилие (13)

Определение обобщенных внутренних усилий создается мембранными напряжениями, поэтому его называют мембранным усилием; аналогично мембранное усилие (14) Рис.2. Внутренние усилия в гибкой пластине

Определение обобщенных внутренних усилий Мембранное сдвиговое усилие: (15) Изгибающий момент: (16) (17) Где, (18) Аналогично (19) Крутящий момент (20)